Методы программрования: переборные алгоритмы. Тень победы
Во многих прикладных задачах требуется найти оптимальное решение среди очень большого (но конечного!) числа вариантов. Иногда удается построить это решение сразу, но в большинстве случаев единственный способ его отыскать состоит в переборе ВСЕХ возможных вариантов и сравнении их между собой. Поэтому так важно для нас научиться строить алгоритмы ПЕРЕБОРА различных комбинаторных объектов - последовательностей, перестановок, подмножеств и т.д.
Схема перебора всегда будет одинакова:
-
- во-первых, надо установить ПОРЯДОК на элементах, подлежащих
перечислению (в частности, определить, какой из них будет первым,
а какой последним);
Во-вторых, научиться переходить от произвольного элемента к
HЕПОСРЕДСТВЕHHО СЛЕДУЮЩЕМУ за ним (т.е. для заданного элемента x1
строить такой элемент x2, что x1
H аиболее естественным способом упорядочения составных объектов является ЛЕКСИКОГРАФИЧЕСКИЙ порядок, принятый в любом словаре (сначала сравниваются первые буквы слов, потом вторые и т.д.) - именно его мы и будем чаще всего использовать. А вот процедуру получения следующего элемента придется каждый раз изобретать за- ново. Пока запишем схему перебора в таком виде:
X:=First;
while X<>Last do Next(X);
где First - первый элемент; Last - последний элемент; Next -
процедура получения следующего элемента.
1.1. Последовательности
Hапечатать все последовательности длины N из чисел 1,2,...,M.
First = (1,1,...,1) Last = (M,M,...,M)
Всего таких последовательностей будет M^N (докажите!). Чтобы понять. как должна действовать процедура Next, начнем с примеров. Пусть N=4,M=3. Тогда:
Next(1,1,1,1) -> (1,1,1,2) Next(1,1,1,3) -> (1,1,2,1) Next(3,1,3,3) -> (3,2,1,1)
Теперь можно написать общую процедуру Next:
Если такого i найти не удается, то следующей последовательности
нет - мы добрались до последней (M,M,...,M). Заметим также, что
если бы членами последовательности были числа не от 1 до M, а от
0 до M-1, то переход к следующей означал бы прибавление 1 в M-ичной системе счисления. Полная программа на Паскале выглядит так: Program Sequences;
type Sequence=array of byte;
var M,N,i:byte;
X:Sequence;
Yes:boolean;
procedure Next(var X:Sequence;var Yes:boolean);
var i:byte;
begin
i:=N;
{поиск i}
while (i>0)and(X[i]=M) do begin X[i]:=1;dec(i) end;
if i>0 then begin inc(X[i]);Yes:=true end
else Yes:=false
end;
begin
write("M,N=");readln(M,N);
for i:=1 to N do X[i]:=1;
repeat
for i:=1 to N do write(X[i]);writeln;
Next(X,Yes)
until not Yes
end.
Hапечатать все перестановки чисел 1..N (то есть последовательности длины N, в которые каждое из чисел 1..N входит ровно по
одному разу). First = (1,2,...,N)
Last = (N,N-1,...,1) Всего таких перестановок будет N!=N*(N-1)*...*2*1 (докажите!).
Для составления алгоритма Next зададимся вопросом: в каком случае
i-ый член перестановки можно увеличить, не меняя предыдущих? Ответ: если он меньше какого-либо из следующих членов (членов с номерами больше i). Мы должны найти наибольшее i, при котором это
так, т.е. такое i, что X[i] Procedure Next;
begin
{найти i: X[i] Теперь можно написать программу: Program Perestanovki;
type Pere=array of byte;
var N,i,j:byte;
X:Pere;
Yes:boolean;
procedure Next(var X:Pere;var Yes:boolean);
var i:byte;
procedure Swap(var a,b:byte); {обмен переменных}
var c:byte;
begin c:=a;a:=b;b:=c end;
begin
i:=N-1;
{поиск i}
while (i>0)and(X[i]>X) do dec(i);
if i>0 then
begin
j:=i+1;
{поиск j}
while (j Вариант № 145258
Ответами к заданиям 1-19 является последовательность цифр, цифра или слово (словосочетание). Записывайте ответы без пробелов, запятых и других дополнительных символов; не копируйте слова-ответы из браузера, вписывайте их, набирая с клавиатуры. Имена российских государей следует писать только буквами. Если вариант задан учителем, вы можете вписать ответы на задания части С или загрузить их в систему в одном из графических форматов. Учитель увидит результаты выполнения заданий части В и сможет оценить загруженные ответы к части С. Выставленные учителем баллы отобразятся в вашей статистике. Версия для печати и копирования в MS Word
С именами Юрия Даниловича, Ивана Калиты и тверских князей связана 1) битва на реке Калка 2) борьба за ярлык на великое княжение 3) Ливонская война 4) Куликовская битва Ответ: Возвышение Московского княжества в XIV в. связано с именем князя 1) Владимира Мономаха 2) Всеволода Большое Гнездо 3) Ивана Калиты 4) Владимира Красное Солнышко Ответ: Одной из непосредственных причин усиления западного влияния на русскую культуру в XVII в. является 1) заключение унии между католической церковью и Русской Православной Церковью 2) завоевание выхода в Балтийское море 3) присоединение Левобережной Украины и Киева к России 4) преобладание иностранцев на высших государственных должностях Ответ: Мастер Дионисий работал над росписями: 1) Троице-Сергиева монастыря 2) Ферапонтова монастыря под Вологдой 3) Андроникова монастыря в Москве 4) Данилова монастыря Ответ: Прочтите отрывок из сочинения историка С. Ф. Платонова и назовите царя, о котором идёт речь. «Царь последовательно включал в опричнину одну за другой внутренние области государства, производил в них пересмотр землевладения и учёт землевладельцев, удалял на окраины или попросту истреблял людей, ему неугодных, и взамен их поселял людей надёжных. Изгнанию подвергались не только знатные потомки удельных князей, но и простые служилые люди и вся вообще дворня и служня, окружавшая подозрительных для [царя] господ». 1) Василий Шуйский 2) Борис Годунов Ответ: Согласно Табели о рангах (1722 г.) продвижение по службе зависело от 1) знатности рода 2) личных заслуг 3) личного богатства 4) размера земельных владений Ответ: Какой орган управления возглавлял генерал А.Х. Бенкендорф в период царствования Николая I? 1) Государственный Совет 2) III Отделение Собственной Его Императорского Величества кацелярии 3) Министерство государственных имуществ 4) Правительствующий Сенат Ответ: Что из названного способствовало развитию капитализма в России в 1870-х гг.? 1) существование крестьянской общины 2) увеличение норм оброка 3) перевод крестьян на обязательный выкуп 4) освобождение крестьян от крепостной зависимости Ответ: Прочтите отрывок из указа российского правителя и назовите этого правителя. «Общим нашим добровольным и взаимным согласием, по зрелом рассуждении и со спокойным духом постановили сей акт наш общий, которым по любви к Отечеству избираем наследником, по праву естественному, после смерти моей, <...> сына нашего большего, Александра, а по нём - всё его мужеское поколение. По пресечении сего мужеского поколения наследство переходит в род второго моего сына, где и следовать тому, что сказано о поколении старшего моего сына, и так далее, если бы более у меня сыновей было; что и есть первородство. По пресечении последнего мужеского поколения сыновей моих наследство остаётся в сем роде, но в женском поколении последнецарствовавшаго как в ближайшем престолу, дабы избегнуть затруднений при переходе от рода в род, в котором следовать тому же порядку, предпочитая мужеское лице женскому...» 1) Николай I 3) Александр II1.2. Перестановки
Ответ:
Основу официальной идеологии российского самодержавия при Николае I составляла
2) теория малых дел
3) теория официальной народности
4) идея народного представительства
Ответ:
Что из перечисленного явилось одной из причин отмены крепостного права?
1) настоятельное требование этого со стороны европейских держав
2) пропагандистская деятельность народнических организаций
3) поражение России в Крымской войне
4) массовые демонстрации рабочих в промышленных центрах Империи
Ответ:
Прочтите отрывок из письма императора Николая II и укажите, в каком году происходили описанные в нём события.
«Представлялось избрать один из двух путей - назначить энергичного военного человека и всеми силами постараться подавить крамолу. И другой путь - предоставление гражданских прав населению, свободы слова, печати, собраний, союзов и т. д. Кроме того, обязательство проводить всякие законопроекты через Государственную думу <...> Это, в сущности, и есть конституция. Витте горячо отстаивал этот путь. И все, к кому я обращался, отвечали мне так же, как и Витте. Манифест был составлен им и Алексеем Оболенским.
Мы обсуждали его два дня, и, наконец, помолившись, я его подписал».
Ответ:
Кто из деятелей культуры считается основателем русского профессионального театра?
1) Д. И. Фонвизин
2) В. К. Тредиаковский
3) Ф. Г. Волков
4) М. В. Ломоносов
Ответ:
Наступление Красной армии на Восточном фронте летом 1919 г. было направлено против войск
1) генерала П. Н. Врангеля
2) генерала А. И. Деникина
3) генерала Н. Н. Юденича
4) адмирала А. В. Колчака
Ответ:
Что из названного относится к причинам большевизации Советов в сентябре-октябре 1917 г.?
1) согласие большевиков во всем поддержать Временное правительство
2) союз большевиков с кадетами
3) организация большевиками отпора выступлению Л. Г. Корнилова
4) готовность Временного правительства к сепаратному миру с Германией
Ответ:
Кто из перечисленных героев Великой Отечественной войны совершил подвиг, закрыв своим телом амбразуру немецкого дота, чтобы обеспечить успех своему подразделению?
1) И. Н. Кожедуб
2) В. В. Талалихин
3) A. M. Матросов
4) Н. Ф. Гастелло
Ответ:
Прочтите отрывок из воспоминаний советского военачальника и определите, о начале какой битвы в нём идёт речь.
«С раннего утра 17 апреля на всех участках фронта разгорелись ожесточённые сражения, враг отчаянно сопротивлялся. Однако к вечеру, не выдержав удара танковых армий, введённых накануне, которые во взаимодействии с общевойсковыми армиями пробили на ряде участков оборону на Зееловских высотах, противник начал отступать. Утром 18 апреля Зееловские высоты были взяты...»
1) Курская битва
2) прорыв блокады Ленинграда
3) битва за Днепр
4) битва за Берлин
Ответ:
Что из перечисленного относится к характерным чертам политической жизни СССР в 1970-х – середине 1980-х гг.?
1) начало процесса реабилитация жертв политических репрессий
2) смягчение критики культа личности И. В. Сталина руководителями государства
3) сокращение численности партийного аппарата
4) отход от признания руководящей роли КПСС
Ответ:
Что было одной из причин неудач экономической политики периода перестройки во второй половине 1980-х годов?
1) приоритетное развитие лёгкой промышленности в ущерб тяжёлой
2) увеличение зависимости экономики от иностранных инвестиций
3) сохранение командно-административных основ управления
4) рост хозяйственной самостоятельности промышленных предприятий
Ответ:
Б. Ш. Окуджава и А. А. Галич были широко известными в СССР
1) художниками
2) учёными
3) бардами
4) спортсменами
Ответ:
Что из названного относилось к противостоянию законодательной и исполнительной ветвей власти в России в октябре 1993 г.?
1) штурм «Белого дома» в Москве
2) заключение двустороннего соглашения о преодолении кризиса
4) добровольная отставка Б. Н. Ельцина с поста Президента России
Ответ:
Ответ:
Выберите из списка черты, характеризующие хозяйственное развитие России в XVII веке. Ответ запишите цифрами без пробелов.
1) железнодорожное строительство
2) товарная специализация районов
3) начало промышленного переворота
4) создание первых мануфактур
5) развитие ярмарочной торговли
6) уничтожение внутренних таможенных пошлин
Ответ:
Установите соответствие между именами современников
A | Б | В | Г |
Ответ:
Ниже приведён перечень терминов. Все они, за исключением двух, связаны с процессом закрепощения крестьян.
1) Юрьев день
2) урочные лета
3) пожилое
4) вольные хлебопашцы
5) уставная грамота
6) Соборное уложение
Найдите и запишите порядковые номера терминов, появление которых относится к другому историческому периоду.
Ответ:
Напишите пропущенное слово.
Государственная программа, по которой Соединенные Штаты Америки передавали своим союзникам во Второй Мировой войне, в том числе СССР, боеприпасы, технику, продовольствие и стратегическое сырьё, называется __________.
Ответ:
Заполните пустые ячейки таблицы, используя представленные в приведённом ниже списке данные. Для каждой ячейки, обозначенной буквой, выберите номер нужного элемента.
Пропущенные элементы:
1) Ю. В. Андропов
2) расстрел рабочей демонстрации в Новочеркасске
3) И. В. Сталин
4) испытание первой советской ядерной бомбы
6) Л. И. Брежнев
7) катастрофа на Чернобыльской АЭС
8) М. С. Горбачёв
Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:
А | Б | В | Г | Д | Е |
Ответ:
Прочтите отрывок из исторического источника.
«Все действия императора были согласны с моими правилами и моими желаниями. Либерализм, столь нам несвойственный, обезоружен и придавлен; слова "правосудие" и "порядок" заменили слово "свобода". Строгость его никто не смел да и не хотел назвать жестокостью, ибо она обеспечивала как личную безопасность каждого, так и вообще государственную безопасность. Везде были видны весёлые и довольные лица, печальными казались только родственники и приятели мятежников 14 декабря... Затем учреждён Верховный уголовный суд, составленный из всех членов Г осу дарственного совета, Синода и Сената, к коим присовокуплено было несколько полных генералов. В числе судящих находился Сперанский, в числе подсудимых - задушевный друг его, инженерный полковник Батенков, с которым он познакомился в Сибири... и которого удалось ему перевести в Петербург... В первых числах июля... над виновными совершён приговор суда. Полтораста осуждённых выведены на площадь перед крепостью, им прочтено решение суда, над ними переломлены шпаги, сняты с них мундиры и фраки, они облечены в крестьянское платье и отправлены в ссылку. Пять человек были повешены. Всё это происходило вскоре по восхождении солнца и в отдалённой части города, следственно, зрителей не могло быть много. Несмотря на то, в этот день жители Петербурга исполнились ужаса и печали».
Используя отрывок и знания по истории, выберите в приведённом списке три верных суждения. Запишите в ответ цифры, под которыми они указаны.
1) Императором, о котором говорится в отрывке, является Николай I.
2) Среди пятерых казнённых, упоминаемых в отрывке, были С. П. Трубецкой и Н. М. Муравьёв.
5) Среди тех, кого, согласно данному отрывку, отправили в ссылку, были К. Ф. Рылеев и П. Г. Каховский.
6) Казнь, о которой говорится в отрывке, состоялась летом 1826 г.
Ответ:
Рассмотрите схему и выполните задания
Напишите имя полководца, вторжение войск которого в Россию показано на схеме.
Ответ:
Напишите название города, обозначенного на схеме цифрой «1».
Ответ:
Рассмотрите схему и выполните задания
Напишите цифру, обозначающую населённый пункт, в котором русские войска встали лагерем после оставления Москвы.
Ответ:
Рассмотрите схему и выполните задания
Какие суждения, относящиеся к событиям, связанным со схемой, являются верными? Выберите три суждения из шести предложенных. Запишите в таблицу цифры, под которыми они указаны.
1) С начала изображённых на карте военных действий русские войска преследовали вторгшегося неприятеля.
2) В ходе данной войны русские войска возглавил М. И. Кутузов.
3) Самое кровопролитное сражение этой войны произошло под Вязьмой.
4) В ходе событий, указанных на схеме, в России развернулась народная война против неприятеля.
5) Указанные на схеме военные действия длились больше года.
6) Вторгшаяся в Россию неприятельская армия получила в истории название «Великая армия».
Ответ:
Какие суждения о скульптуре, изображённой на фотографии, являются верными? Выберите два суждения из пяти предложенных. Запишите в ответ цифры, под которыми они указаны.
1) Скульптура была создана в период после Великой Отечественной войны.
2) В настоящее время скульптура находится в г. Санкт-Петербурге.
3) На скульптуре показаны орудия труда, изображавшиеся на гербе СССР.
4) Автором скульптуры является П. К. Клодт.
5) Скульптура символизировала единство рабочего класса и крестьянства.
Ответ:
Какие из зданий, представленных ниже, были построены в годы руководства страной того же государственного деятеля, при котором была создана данная скульптура? В ответе запишите две цифры, под которыми они указаны.
Ответ:
Прочтите отрывок из мемуаров Г.К. Жукова и кратко ответьте на вопросы С1-С3. Ответы предполагают использование информации из источника, а также применение исторических знаний по курсу истории соответствующего периода.
«Перебрав все возможные варианты, мы решили предложить И.В. Сталину следующий план действий: первое - активной обороной продолжать изматывать противника, второе - приступить к подготовке контрнаступлениями, чтобы нанести противнику... такой удар, который резко изменил стратегическую обстановку на юге в нашу пользу...
При оценке противника мы исходили из того, что фашистская Германия уже не в состоянии выполнить свой стратегический план 1942 года. Тех сил и средств, которыми к осени 1942 года располагала Германия, не хватит для завершения задач ни на Северном Кавказе, ни в районе Дона и Волги...
Генеральный штаб на основе данных фронтов изучил сильные и слабые стороны немецких, венгерских, итальянских и румынских войск. Войска сателлитов по сравнению с немецкими были хуже вооружены, менее опытны, недостаточно боеспособны даже в обороне. И самое главное - их солдаты да и многие офицеры не хотели умирать за чужие интересы на далеких полях России...
Положение противника усугублялось ещё и тем, что... у него было очень мало войск в оперативном резерве, не более шести дивизий, да и те были разбросаны на широком фронте... Нам благоприятствовала и оперативная конфигурация всего фронта противника: наши войска занимали охватывающее положение...»
Как называлась битва, о которой идёт речь в данном отрывке? Как назывался план боевой операции?
Прочтите отрывок из мемуаров Г.К. Жукова и кратко ответьте на вопросы 20-22. Ответы предполагают использование информации из источника, а также применение исторических знаний по курсу истории соответствующего периода.
«Перебрав все возможные варианты, мы решили предложить И.В. Сталину следующий план действий: первое - активной обороной продолжать изматывать противника, второе - приступить к подготовке контрнаступлениями, чтобы нанести противнику... такой удар, который резко изменил стратегическую обстановку на юге в нашу пользу...
При оценке противника мы исходили из того, что фашистская Германия уже не в состоянии выполнить свой стратегический план 1942 года. Тех сил и средств, которыми к осени 1942 года располагала Германия, не хватит для завершения задач ни на Северном Кавказе, ни в районе Дона и Волги...
Генеральный штаб на основе данных фронтов изучил сильные и слабые стороны немецких, венгерских, итальянских и румынских войск. Войска сателлитов по сравнению с немецкими были хуже вооружены, менее опытны, недостаточно боеспособны даже в обороне. И самое главное - их солдаты да и многие офицеры не хотели умирать за чужие интересы на далеких полях России...
Положение противника усугублялось ещё и тем, что... у него было очень мало войск в оперативном резерве, не более шести дивизий, да и те были разбросаны на широком фронте... Нам благоприятствовала и оперативная конфигурация всего фронта противника: наши войска занимали охватывающее положение...»
Какие факторы обеспечили успех советского контрнаступления? Назовите не менее трёх факторов.
Решения заданий части С не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
Прочтите отрывок из статьи западного историка Б.Л. Гарта и кратко ответьте на вопросы С1-С3. Ответы предполагают использование информации из источника, а также применение исторических знаний по курсу истории соответствующего периода.
«Трехмесячная борьба за овладение городом в тактическом плане для немцев свелась к таранным лобовым ударам... Чем глубже немцы втягивались в жилые районы города с их многочисленными домами, тем медленнее развивалось их наступление.
На последнем этапе осады линия фронта проходила в нескольких сотнях метров от западного берега Волги, но к этому времени немецкий натиск в результате исключительно тяжёлых потерь стал ослабевать. Каждый шаг вперед обходился им всё дороже и приносил всё меньше результатов.
Сложные условия уличных боев с упорно обороняющимся противником более благоприятствовали русским, хотя они также находились в трудном положении. В сложившейся обстановке им приходилось перевозить подкрепления и боеприпасы на паромах и баржах через Волгу под артиллерийским огнем. Это ограничивало размеры сил, которые русские могли держать и обеспечивать снабжением на западном берегу реки для обороны города. В силу этого защитники города неоднократно подвергались тяжелым испытаниям... Напряжение сил героических защитников достигло предела, но они выстояли».
В исторической науке существуют дискуссионные проблемы, по которым высказываются различные, часто противоречивые точки зрения. Ниже приведена одна из спорных точек зрения, существующих в исторической науке.
«Распространение в России панславянских настроений, усиление влияния России на Балканах, более тесное взаимодействие с Болгарией, Сербией и другими славянскими странами и народами после русско-турецкой войны 1877-1878 гг. были выгодны для России».
Используя исторические знания, приведите два аргумента, которыми можно подтвердить данную точку зрения, и два аргумента, которыми можно опровергнуть её.
Ответ запишите в следующем виде.
Аргументы в подтверждение:
Аргументы в опровержение:
Решения заданий части С не проверяются автоматически.
Задачи повышенной трудности
(решения, указания, методические советы)
Задачи повышенной трудности отмечены в учебнике значком или. Рассмотрим некоторые из них. Прежде чем разбирать задачу повышенной трудности в классе, надо дать ее на дом, чтобы учащиеся смогли подумать над ней, не ограничивая себя временем. Затем в классе рассмотреть решения, которые они предложат. Если никто не справился, или справились 1-3 человека, решение не разбирается, а только дается подсказка, которая позволит остальным нащупать пути решения. Подсказку лучше давать примерно в такой форме: подумайте над … .
116 . Сколько всего различных незамкнутых ломаных можно построить с вершинами в точках A , B , C , D (рис. 16)?
Задача № 000 – это фактически задача на перебор вариантов. Ее цель в данном параграфе состоит в том, чтобы дать учащимся возможность накопить некоторый опыт по подсчету числа вариантов и по построению дерева вариантов прежде, чем будут введены соответствующие термины и сформулировано правило произведения.
После обсуждения ответов и решений учащихся учитель может сказать примерно следующее:
«Вы получили разные ответы, но никто не смог доказать, что он перебрал все возможные случаи. Давайте попробуем разработать такой способ подсчета, при котором можно быть уверенным в том, что мы перебрали все возможные варианты.» Тогда словосочетание «перебор … вариантов» появляется в таком контексте, что смысл его объяснять не надо, тем более, что используемые слова учащимся к этому моменту уже знакомы из других жизненных ситуаций.
Далее учащимся предлагается сначала посчитать, сколько можно построить ломаных с началом в точке А . Рассуждаем так: из точки А можно пойти в точку B или в точку C или в точку D . Чтобы ничего не пропустить, сделаем рисунок:
Теперь подумаем, куда мы можем пойти из точки B , из точки C, из точки D, и т. д. В результате рассуждений получаем такой рисунок:
«Итак, мы видим, что можно построить 6 ломаных с началом в точке A . Запишем их названия. Как вы думаете, сколько всего ломаных мы получим, если проделаем такую же работу с остальными точками? Проверьте свое предположение дома.»
Здесь работа над задачей в классе заканчивается и учащимся предлагается закончить ее дома: изобразить все ломаные с началом в точке A и, рассуждая аналогично (сделав такой же рисунок), выписать и изобразить все ломаные с началом в точках B , C и D . В процессе выполнения этой работы учащиеся заметят, что каждая ломанае повторяется дважды, поскольку, например, ABCD и DCBA – это одна и та же ломаная. Поэтому всего различных ломаных получится не 6 × 4 = 24, а вдвое меньше – 12.
Время на работу с задачей в классе можно сократить, если заранее заготовить слайд с «деревьями», построенными из точек B , C и D .
117 . Сколько всего различных замкнутых ломаных можно построить с вершинами в точках A , B , C , D (рис. 16)?
Решение. Рассуждения здесь могут быть такими: «Перебирая возможные варианты для незамкнутых ломаных, мы первоначально получили 24 варианта. Затем выяснили, что мы получили 24 варианта названий ломаных, и в этих названиях каждая ломаная повторяется дважды, поэтому всего ломаных 12.
Превратим незамкнутые ломаные в замкнутые: добавим необходимое звено. Видим, например, что замкнутые ломаные ABCD , BCDA , CDAB и DABC – это одна и та же ломаная,
т. е. число различных замкнутых ломаных в 4 раза меньше числа незамкнутых: 12: 4 = 3.»
Можно рассуждать по-другому. «Рассмотрим замкнутую ломаную ABCD . Ее название можно записать 8-ю способами (по два названия для каждой из начальных точек A , B . C , D ). Это значит, что число замкнутых ломаных в 8 раз меньше числа всех возможных вариантов записи названий ломаных с вершинами в точках A , B , C иD : 24: 8 = 3.»
И, наконец, тот же результат можно получить, попытавшись изобразить различные замкнутые ломаные с вершинами в этих точках. Больше трех вариантов найти не удается.
161 . Однажды на досуге Иа-Иа и Пятачок решили попробовать зашифровать цифры буквами. Иа-Иа удалось записать некоторое трехзначное число, затем сумму его цифр, а затем сумму цифр этой суммы. Вот что у него получилось:
.
А Пятачок проделал то же самое с другим трехзначным числом. У него получилось так:
Постарайтесь разгадать, какое число записал Иа-Иа, а какое Пятачок.
Как правило, находятся учащиеся, которые справляются с этой задачей дома без чьей-либо помощи. Если их немного, не стоит торопиться с тем, чтобы они рассказали свое решение всем. Достаточно ответа на вопрос: с чего ты начал?
Если же таких учащихся не нашлось, дается подсказка: подумайте, какой может быть сумма цифр трехзначного числа, может ли она начинаться с цифры 3, с цифры 4 и т. д.? если нет, то почему? После этого задача опять задается на дом.
Решение (один из способов рассуждений).
1) И + О = И, значит, О = 0. Сумма цифр трехзначного числа не может быть больше+ 9 + 9 = 27). Поскольку, О = 0, а И может быть равно только 2 или 1, сумма цифр задуманного числа равна либо 20, либо 10. Проверим оба варианта.
Если И = 2, то ИО=20, тогда А должно быть равно 16. Но цифры 16 не существует.
Если И = 1, то ИО=10, тогда А должно быть равно 8. Это возможно.
Значит, Иа-Иа задумал число 181.
2) Аналогично у Пятачка: число ЧО может быть равно 20 или 10, т. е. Ч может быть равно 2 или 1. Проверим эти варианты.
Если Ч = 2, то П = 9. Это возможно.
Если Ч = 1, то П определить невозможно, так как П + П = 9, а 9 не делится на 2.
Значит, Пятачок задумал число 929.
166 . Прохожий заметил идущий на остановку автобус в 180 метрах позади себя. Чтобы не опоздать, он побежал и через 12 секунд прибежал на остановку одновременно с автобусом. С какой скоростью пришлось бежать прохожему, если известно, что автобус движется со скоростью 19 м/сек?
Прежде чем давать эту задачу на дом, целесообразно прочитать ее в классе и сделать к ней рисунок, т. е. составить графическую модель ситуации, описанной в задаче:
1) 19 × 12 = 228 (м) – расстояние, которое проехал автобус;
2) 228 – 180 = 48 (м) – расстояние, которое пробежал прохожий;
3) 48: 12 = 4 (м/с) – скорость прохожего.
Ответ: 4 м/с.
II способ.
1) 180: 12 =15 (м/с) – скорость, с которой автобус догоняет прохожего;
2) 19 – 15 = 4 (м/с) – скорость прохожего.
Ответ: 4 м/с.
Наводящие вопросы, которые могут быть заданы классу:
На какую из ранее решенных задач похожа эта задача? (задача № 000, про шляпу, которую ветер сорвал со старухи Шапокляк)
1) Какую величину требуется найти в задаче? (скорость)
2) Какие величины надо знать, чтобы определить скорость движения? (путь и время)
3) Какие из них нам известны? (время)
4) Подумайте, как определить путь.
II способ.
1) О каком движении речь идет в задаче: навстречу, вдогонку, объекты сближаются или удаляются? Как бы вы охарактеризовали скорость, с которой меняется взаимное расположение объектов? (движение вдогонку, автобус догоняет пешехода, скорость сближения)
2) В этой задаче двигаются автобус и прохожий, причем автобус догоняет прохожего. Какие скорости и расстояния рассматриваются, когда речь идет о движении вдогонку? (скорости движущихся объектов, скорость сближения или удаления, расстояние между объектами, время, которое требуется, чтобы одному из них догнать другого).
4) Какие из этих величин известны, какие нет? Какая из них искомая? (известно время, которое потребовалось автобусу, чтобы догнать прохожего, скорость автобуса; неизвестна скорость сближения; искомая величина – скорость прохожего).
5) Как определить неизвестные величины?
Здесь так же, как в случае с задачей о шляпе, второе решение короче, но додуматься до него труднее. Поэтому не следует торопиться с тем, чтобы дать детям готовое решение, эффект будет минимальный. Лучше к этой задаче возвращаться в течение нескольких уроков, давая детям возможность все глубже осознавать описанную в ней ситуацию.
225. а) 1000 л бензина стоят 8 500 рублей. Определите стоимость 210 л бензина. Постарайтесь решить эту задачу, не переводя рубли в копейки.
б) Рабочий изготовил 10 деталей на своем станке за 52 часа 30 минут; станок-автомат изготовил 25 таких же деталей за 43 часа 45 минут. Во сколько раз автомат работал быстрее рабочего?
а) Подсказка. Определите стоимость 10 л бензина.
б) Аналогичный прием применить не удается. Но уже попытки предпринять что-либо способствуют накоплению опыта в работе с единицами измерения времени. В конечном итоге приходим к необходимости выразить время работы в минутах.
349. Аэроплан совершал перелет из одного пункта в другой со средней скоростью 180 км/ч . Если бы его скорость была 200 км/ч , то на тот же путь он затратил бы на 30 минут меньше. Определите расстояние между пунктами.
В учебнике есть задачи-ступеньки, ведущие к задаче № 000. Это задачи № 000-329. Решение этих задач приводит к необходимости выполнить деление с остатком, определить, какую часть составляет этот остаток от величины, принятой за целое: расстояния, которое преодолевается за единицу времени, или стоимости единицы массы.
Практика показывает, что для того, чтобы задачу № 000 тем или иным способом решили практически все учащиеся, требуется несколько уроков. Как правило, на первый урок после того, как было получено задание, с решением приходят 1-2 ученика, причем довольно часто задача бывает решена методом подбора. Отвергать его не следует. Однако, надо предложить учащимся постараться решить задачу более традиционным методом.
Попытка решить задачу с помощью уравнения, как правило, приводит к выражениям, которые учащиеся на этом этапе преобразовывать еще не умеют. Поэтому возникает необходимость решить эту задачу арифметическим методом.
Первая Подсказка. Какие величины надо знать, чтобы определить расстояние? Какие из них известны? Представьте, что вылетели одновременно два аэроплана : первый со скоростью 180 км/ч, а второй – со скоростью 200 км/ч.
После этой подсказки еще несколько учащихся приносят решения.
Вторая Подсказка. На каком расстоянии от пункта прибытия был первый аэроплан в тот момент, когда второй туда прилетел? Как бы вы охарактеризовали это расстояние? Целесообразно вместе с учащимися построить графическую модель ситуации:
Третья Подсказка. Скорость известна. Что нужно знать, чтобы определить время в пути, зная, на какое расстояние за это время второй аэроплан обогнал первый?
Решение (заметим, что мы приводим только один из возможных способов, практика же показывает, что при такой организации работы над задачей учащиеся приносят до пяти различных способов решений).
1) Представим, что вылетели одновременно два аэроплана, первый со скоростью 180 км/ч, а второй – со скоростью 200 км/ч. Тогда, в тот момент, когда второй совершил посадку, первый был от пункта назначения в 30 мин полета. Поскольку его скорость 180 км/ч, ему осталось лететь
180: 2 = 90 (км).
2) 90 км – это расстояние, на которое второй аэроплан обогнал первый за время полета. Чтобы найти расстояние между городами, надо знать время полета. Это то самое время, за которое второй аэроплан обогнал первый на 90 км. Его можно найти, если определить скорость удаления:
200 – 180 = 20 (км/ч).
3) 90: 20 = 4 ч (10 км ост).
Если за 1 час расстояние между самолетами увеличивается на 20 км, то на 10 км оно увеличится за полчаса. Значит, второй аэроплан был в полете 4 ч 30 мин.
4) 200 × 4 = 800 (км) – расстояние, которое пролетел второй аэроплан за 4 часа.
И еще за полчаса он пролекм.
5) Значит расстояние между городами: 800 + 100 = 900 (км).
Ответ. 900 км.
493. Изобразите отрезок MN . Отметьте на нем точки K и L так, чтобы отрезок KN составлял , а отрезок ML – отрезка MN . Какую часть отрезков MN , NK , ML , MK и NL составляет отрезок KL ? Прежде чем решать задачу подумайте, какой длины удобно взять отрезок MN .
Подсказка содержится в тексте задачи. Учащимся предлагается в классе прочитать первые два предложения и подумать над подсказкой. После этого задача дается на дом.
Можно даже выполнить первую половину задания в классе: изобразить отрезок и отметить на нем точки. Завершить выполнение задания учащимся предлагается дома.
Ответ: отрезок KL составляет длины отрезка MN , длины отрезка NK , длины отрезка ML , 1 длины отрезка MK , 1 длины отрезка NL .
581. Библиотеке надо переплести 960 книг. Одна переплетная мастерская может выполнить эту работу за 16, другая - за 24 и третья - за 48 дней. В какой срок могут выполнить эту работу три мастерские, работая одновременно, и сколько книг успеет переплести каждая мастерская? Можно ли распределить книги между мастерскими так, чтобы эта работа была выполнена за более короткий срок?
Учащиеся уже решали задачи на совместную работу, но до сих пор работающих было двое (№ 000, 143, 157), решение было связано с дробями (№ 000, 518, 519). Поэтому на уроке, когда эта задача дается на дом, следует предоставить учащимся возможность прочитать условие и подумать над вопросом: что надо знать, чтобы определить, за какой срок смогут выполнить работу три мастерские, работая одновременно? Возможны два варианта ответа: 1) сколько книг могут переплести три мастерские за один день, работая одновременно; 2) какую часть работы могут выполнить за один день три мастерские, работая одновременно (). Однако в 5-м классе второй вариант маловероятен. Такой способ решения можно рассмотреть в 6-м классе, вернувшись к этой задаче во втором полугодии, когда учащимся будут знакомы все действия с обыкновенными дробями.
1) Сколько книг может переплести за один день первая мастерская?
960: 16 = 60 (книг).
2) Сколько книг может переплести за один день вторая мастерская?
960: 24 = 40 (книг).
3) Сколько книг может переплести за один день третья мастерская?
960: 48 = 20 (книг).
4) Сколько книг могут переплести за один день три мастерские, работая одновременно?
60 + 40 + 20 = 120 (книг).
5) За какой срок выполнят работу три мастерские, работая одновременно?
960: 120 = 8 (дней).
6) Сколько книг успеет переплести первая мастерская за 8 дней?
60 × 8 = 480 (книг).
7) Сколько книг успеет переплести вторая мастерская за 8 дней?
40 × 8 = 320 (книг).
6) Сколько книг успеет переплести третья мастерская за 8 дней?
20 × 8 = 160 (книг).
Заметим, что первые 5 действий можно записать одним выражением.
Второй вопрос задачи можно перефразировать следующим образом: будет ли работа выполнена за более короткий срок, если отдать больше книг в ту мастерскую, которая работает быстрее всех? (Поскольку очевидно, что если книги отдать в мастерскую, которая работает медленнее, работа будет выполняться дольше).
В ответе на первый вопрос задачи было получено:
а) работа будет выполнена за 8 дней;
б) за 8 дней I мастерская успеет переплести 480 книг;
II мастерская успеет переплести 320 книг;
III мастерская успеет переплести 160 книг.
Если перераспределить книги, увеличив их число в I мастерской, то на работу потребуется более 8 дней. Значит, оптимальным является только найденный вариант распределения.
На самом деле, тот факт, что увеличение числа книг в первой мастерской ведет к увеличению срока выполнения работы, достаточно очевиден, но у некоторых учащихся остаются сомнения, если им наглядно не представлены результаты, найденные при ответе на первый вопрос.
Примем объем всей работы за единицу – 1. Тогда за один день
I мастерская сможет выполнить часть всей работы,
II мастерская сможет выполнить часть всей работы,
III мастерская сможет выполнить часть всей работы,
1) Какую часть работы могут выполнить за один день три мастерские, работая одновременно?
(часть работы)
2) За один день выполняется часть работы, значит, вся работа будет выполнена за 8 дней.
3) Какую часть книг успеет переплести каждая мастерская за 8 дней?
I мастерская: (часть);
II мастерская: (часть);
III мастерская: (часть).
4) Сколько книг успеет переплести каждая мастерская за 8 дней?
I мастерская: 960 × = 480 (книг);
II мастерская: 960 × = 320 (книг);
III мастерская: 960 × = 160 (книг).
Ответ: 8 дней, I мастерская успеет переплести 480 книг, II мастерская – 320 книг, III мастерская – 160 книг.
677. В первой фляге молока в 3 раза больше, чем во второй. Когда из первой фляги перелили во вторую 15 л, молока в обеих флягах стало поровну. Сколько литров молока было в каждой фляге первоначально?
Попытка решить задачу алгебраическим методом, приводит к уравнению, которое пятиклассникам, решить довольно затруднительно. Поэтому здесь целесообразно предложить учащимся составить графическую модель ситуации (рисунок), описанной в задаче, и подумать над этой моделью:
Наводящий вопрос: покажите то количество молока, которое надо перелить из первого бидона во второй, чтобы уравнять количество молока в обоих бидонах.
Как только учащиеся поняли, что 15 л это треть молока, содержащегося в первом бидоне, задача решена.
678. 1) Решите задачу подбором. Из 29 коробок часть содержит по 14 кг конфет, а часть по 15 кг. Сколько тех и других коробок, если общая масса конфет в коробках обоих типов одинаковая?
2) Придумайте сами аналогичную задачу.
Подсказка: внимательно изучите данные.
Внимательно изучив данные, видим, что 14 + 15 = 29. Значит коробок, в которых по 14 кг должно быть 15, а тех, в которых по 15 кг – 14.
689. Пассажир поезда, идущего со скоростью 50 км/ч, заметил, что встречный поезд шел мимо него в течение 10 секунд. Определите длину встречного поезда, если его скорость – 58 км/ч.
Какие величины в задаче известны? Сделаем рисунок:
Длина поезда – это расстояние от начала головного вагона до конца хвостового вагона. Какие величины мы обычно используем, чтобы найти расстояние?
Как бы вы решали задачу, если бы поезд, в котором сидел пассажир, стоял на месте?
1) 50 + 58 = 108 км/ч скорость, с которой встречный поезд проехал мимо пассажира.
2) 108 (км/ч) = (108 × 1000) : 3600 (м/с) = 30 (м/с).
3) 30 × 10 = 300 (м) – длина поезда.
Ответ: 300 м.
690. а). От пристани А вниз по течению реки отправился катер. В это же время от пристани В навстречу ему вышел второй катер с такой же собственной скоростью. Первый катер достиг пристани В через 4 ч. На каком расстоянии от пристани А был в это время второй, если скорость течения 2 км/ч?
б) В случае затруднений, постарайтесь определить, на сколько первый катер проходит больше километров за 1 час, чем второй
в) Если вы так и не смогли решить задачу, постарайтесь разобраться в том, как это можно сделать, из следующего текста.
Первый катер при движении по течению за 4 ч «выиграл» 8 км (4 × 2) по сравнению с тем расстоянием, которое он прошел бы за это время, двигаясь в стоячей воде, а второй катер столько же километров «проиграл», так как двигался против течения. Всего же второй катер за 4 ч «проиграл» первому 16 км. Значит, на таком расстоянии он был от A тогда, когда первый прибыл в B .
Подсказки и решение этой задачи следуют сразу после условия, под буквами б) и в).
¢798. Начертите с помощью циркуля окружность и проведите диаметр. Обозначьте его АВ . На окружности отметьте две любые точки С и D . Соедините их с точками А и В . Какими (острыми, прямыми или тупыми) получились углы АСВ и ADB ? Сделайте вывод.
799. Начертите окружность и проведите отрезок АВ с концами на этой окружности. Отметьте на окружности точки C , D и Е так, чтобы угол АВС был острым, угол АВ D – прямым, а угол АВ E – тупым.
Задачи № 000 и 799 – это задачи-ступеньки к задаче № 000.
Выполняя задание № 000, учащиеся видят, что все углы, вершины которых принадлежат окружности, а стороны проходят через концы диаметра – прямые.
После выполнения задания № 000 целесообразно предложить учащимся вопрос: «Есть ли среди отрезков AC , AD и AE диаметр данной окружности?»
800. На отдельном листе бумаги, используя чашку вместо циркуля, проведите карандашом окружность. Вырежьте получившийся круг и подумайте, как при помощи перегибания найти его центр. Подумайте, как найти центр круга в случае, если круг перегнуть нельзя.
Выполнение первого задания – найти центр вырезанного круга перегибанием, как правило, затруднений не вызывает.
Если же круг перегнуть нельзя, то центр найти сложнее. Здесь учащимся следует предложить подумать, какие из свойств углов и окружностей, с которыми они познакомились, выполняя предыдущие задания (№ 000, 799), можно использовать в этой задаче. Оказывается, достаточно построить прямой угол BAC , где точки A , B , C принадлежат окружности, тогда BC – диаметр, а его середина – центр окружности.
Мы рекомендуем учителю обязательно рассмотреть эти задачи с учащимися, так как в 6 классе им будут предложены задания такого типа: на рисунке изображена окружность, центр которой не отмечен, и требуется определить длину этой окружности, измерив ее диаметр или радиус.
Если учащиеся не знакомы с тем, как определить диаметр или радиус окружности, центр которой не известен, выполнить такое задание им будет нелегко.
846. Найдите длину забора, окружающего дом прямоугольной формы, длиной 15,5 м и шириной 4,8 м, если забор поставлен на расстоянии 10 м от него.
К этой задаче целесообразно сделать схематический рисунок, чтобы, в частности, было понятно, что подразумевается под расстоянием от дома до забора:
879. Катер, встретив плот, продолжал движение еще в течение получаса в том же направлении, а затем развернулся и направился обратно. Сколько ему понадобится времени, чтобы догнать плот?
Эта задача вызывает затруднения даже у учащихся старших классов. Но, поскольку они знакомы с преобразованием буквенных выражений, в большинстве случаев им удается получить правильный ответ.
Как правило, пятиклассники либо приносят решение в буквенной форме, которое сделали родители, либо высказывают некоторые предположения, с обоснованием которых у них возникают затруднения, либо задают какие-нибудь значения скоростей катера и течения и решают задачу с числовыми данными.
Последний вариант, на наш взгляд, наиболее приемлем. Следует предложить учащимся задать различные значения для скоростей катера и течения и решить задачу с этими данными. Во всех случаях получается один и тот же результат. После этого учащиеся высказывают предположение, что результат не зависит от числовых данных. Учитель предлагает подумать – почему?
Обоснования могут быть различными по форме. Приведем одно их них.
Скорость удаления катера от плота (движение против течения):
(v собст. катера – v течения) + v плота(течения) = v собст. катера.
Скорость сближения катера и плота (движение по течению):
(v собст. катера + v течения) – v плота(течения) = v собст. катера.
1008. Приведите контрпример для утверждения: любые два прямоугольных параллелепипеда, имеющие равные объемы, имеют и равные площади поверхности.
Подсказка: для наглядности можно использовать кубики. Например:
1021. Пассажир поезда, идущего со скоростью 79,2 км/ч, заметил, что встречный поезд шел мимо него в течение 12 с. Определите скорость встречного поезда, если его длина – 480 м.
Эта задача очень похожа на задачу № 000. Только там были даны скорости обоих поездов, и надо было найти длину встречного поезда; здесь же длина известна, а найти надо скорость. Поэтому первой подсказкой к этой задаче может быть предложение вспомнить, как решалась задача № 000.
Кроме того, можно предложить учащимся подумать, как бы они решили задачу, если бы поезд, в котором сидел пассажир, стоял на месте; какой компонент и как надо изменить, учитывая, что поезда ехали навстречу друг другу.
1) Выразим скорость поезда, в котором ехал пассажир, в метрах в секунду:
79,2 (км/ч) = (79,2 × 1000) : 3600 (м/с) = 22 (м/с).
2) 480: 12 = 40 (м/с) – скорость, с которой встречный поезд проехал мимо пассажира.
3) 40 – 22 = 18 (м/с) – скорость встречного поезда.
4) Выразим скорость встречного поезда в км/ч:
(18 × 3600): 1000 = 64,8 (км/ч).
Ответ: 64,8 км/ч.
После того, как задача решена, можно предложить учащимся придумать задачу на такую ситуацию: пассажир сидит в поезде, а по параллельному пути его обгоняет другой поезд.
Предположим, что вы не можете вспомнить последнюю цифру телефона своего друга. Какое наибольшее количество номеров придется набрать, чтобы ему дозвониться?
Поскольку в конце телефонного номера может стоять любая из десяти цифр, то вам в худшем случае придется сделать десять попыток, тем самым перебрав все возможные варианты.
Нередко в повседневной жизни мы встречаемся с задачами, решение которых требует рассмотрения и подсчета всех возможных комбинаций . Поэтому такие задачи навзывают комбинаторными .
Пример 1 . Одноклассницы Оля, Валя и Катя дежурят по школе. Сколькими способами классный руководитель может расставить девочек по одной на каждом из трех этажей школы?
Решение. Предположим, что Олю назначили дежурить на третьем этаже. Тогда на втором этаже может дежурить Валя или Катя, а на первом − соответственно Катя или Валя.
Получаем два способа (две комбинации, два варианта) распределения дежурства (девочки обозначены первыми буквами их имен).
Пусть теперь дежурной на третьем этаже назначили Валю. Тогда на втором этаже может дежурить Оля или Катя, а на первом − соответственно Катя или Оля. Получаем еще два способа распределения дежурства.
И наконец, предположим, что дежурной на третьем этаже назначили Катю. Получаем еще два способа распределения дежурства.
Таким образом получилось шесть способов распределения дежурства.
Ответ: 6 способов.
При решении комбнаторных задач важно рассмотреть (перебрать) все случаи. Поэтому процесс перебора желательно сделать удобным и наглядным.
Например, решение задачи о распределении дежурства можнго проиллюстрировать с помощью такой схемы:
Эта схема позволяет записать шесть комбинаций, каждая из которых соответствует одному варианту распределения дежурства: ОВК, ОКВ, ВОК, ВКО, КВО, КОВ.
Изображженная схема напоминает перевернутое дерево. Поэтому ее называют деревом возможных вариантов .
Пример 2 . Сколько углов изображено на рисунке 182 ?
Решение. Обозначение любого угла, изображенного на рисунке, состоит из трех букв, второй из которых обязательно является буква O, а две другие выбираются из букв A, B, C, D. Поэтому искомое количествоо углов равно количеству способов выбрать из букв A, B, C, D две буквы.
При записи всех возможных вариантов надо учесть, что, например, комбинации AB и BA соответствуют одному и тому же углу AOB.
Вначале перечислим все пары букв с первой A:
AB, AC, AD.
Теперь перечислим пары, у которых первая буква B, а вторая не является буквой A:
BC, BD.
Осталось перечислить пары, у которых первая буква C, а второй не является ни A, ни B:
Таким образом, получили шесть комбинаций:
AB, AC, AD, BC, BD, CD.
Следовательно, на рисунке 182 изображено шесть углов.
Ответ: 6 углов.
При решении этой задачи можно воспользоваться такой наглядной схемой.
Рассмотрим четыре точки, обозначенные буквами A, B, C, D (рис. 183 ).
Тогда количество отрезков, соединяющих каждые две точки, равно количеству углов, изображенных на рисунке 182 . Например, отрезку AC на рисунке 183 соответствует угол AOC на рисунке 182, отрезку BC − угол BOC. И наоборот, каждому углу на рисунке 182 соответствует определенный отрезок на рисунке 183 .
На рисунке 183 можно провести всего шесть отрезков. Следовательно, искомое количество углов равно шести.
С помощью схем, подобной той, которая изображена на рисунке 183, можно решать целый ряд задач. С помощью этой схемы решите такую задачу. При встрече четыре прямтеля обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий? (Ответ: 6 ).